Erinevus aritmeetilise ja geomeetrilise jada vahel

Aritmeetiline jada vs geomeetriline jada
 

Arvude ja nende käitumise mustrite uurimine on oluline uurimus matemaatika valdkonnas. Sageli võib neid mustreid looduses näha ja see aitab meil selgitada nende käitumist teaduslikust vaatenurgast. Aritmeetilised jadad ja geomeetrilised jadad on kaks peamist mustrit, mis esinevad arvudes ja esinevad sageli loodusnähtustes.

Jada on järjestatud numbrite kogum. Elementide arv jadas võib olla nii piiratud kui ka lõpmatu.

Lisateave aritmeetilise jada (aritmeetriline progressioon) kohta

Aritmeetiline jada on määratletud numbrijadana, mille erinevus iga järgneva termini vahel on püsiv. Seda tuntakse ka kui aritmeetilist progressiooni.

Aritmeetika järjestus ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄,…, A_n ; kus a₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d jne.

Kui algne tähtaeg on a₁ ja üldine erinevus on d, siis n^th jada tähtaja annab;

a_n = a₁ + (n-1) d

Ülaltoodud tulemust edasi võttes n^th termini võib anda ka kui;

a_n = a_m + (n-m) d, kus a_m on juhuslik termin sellises järjestuses, et n> m.

Paarisarvu ja paaritu arvu komplekt on lihtsaim näide aritmeetilistest jadadest, kus igal jadadel on ühine erinevus (d) 2.

Jadade arv võib olla kas lõpmatu või piiratud. Lõpmatul juhul (n → ∞) kaldub jada lõpmatuseni sõltuvalt üldisest erinevusest (a_n → ± ∞). Kui üldine erinevus on positiivne (d> 0), kaldub jada positiivsele lõpmatusele ja kui üldine erinevus on negatiivne (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Aritmeetilise jada tingimuste summat tuntakse aritmeetilise jadana: S_n= a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n} a_i; ja S_n = (n / 2) (a₁ + a_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] annab seeria väärtuse (S_n).

Lisateave geomeetrilise jada (geomeetriline progressioon) kohta

Geomeetriline jada on defineeritud kui jada, milles kahe järjestikuse termini jaotus on konstant. Seda nimetatakse ka geomeetriliseks progressiooniks.

Geomeetriline jada ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄,…, A_n; kus a₂/ a₁ = r, a₃/ a₂ = r ja nii edasi, kus r on reaalarv.

Geomeetrilist jada on lihtsam esitada, kasutades ühist suhet (r) ja algterminit (a). Siit tuleneb geomeetriline jada ⇒ a₁, a₁r, a₁r², a₁r³,…, A₁r^n-1.

N üldvorm^th a antud terminid_n = a₁r^n-1. (Algtermi alaindeksi kaotamine ⇒ a_n = ar^n-1)

Geomeetriline jada võib olla ka piiratud või lõpmatu. Kui terminite arv on piiratud, siis öeldakse, et jada on piiratud. Ja kui terminid on lõpmatud, võib jada olla sõltuvalt suhtest r kas lõpmatu või piiratud. Üldine suhe mõjutab paljusid geomeetriliste jadade omadusi. 

r> o	0 < r < +1	Jada ühtlustub - eksponentsiaalne lagunemine, s.o.n → 0, n → ∞
	r = 1	Pidev jada, s.o.n = konstantne
	r> 1	Järjestus lahkneb - eksponentsiaalne kasv, s.o.n → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Jada on võnkuv, kuid ühtlustub
	r = 1	Järjestus on vahelduv ja konstantne, s.o.n = ± konstant
	r < -1	Jada on vahelduv ja erineb. s.o.n → ± ∞, n → ∞
r = 0	Jada on nullide jada

N.B: Kõigil ülaltoodud juhtudel a₁ > 0; kui a₁ < 0, the signs related to a_n pööratakse ümber.

Kuulide põrkumiste vaheline ajavahemik järgib ideaalmudelis geomeetrilist jada ja see on ühtlev jada.

Geomeetrilise jada tingimuste summa on tuntud kui geomeetriline jada; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} arⁱ. Geomeetriliste jadade summa saab arvutada järgmise valemi abil.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); kus a on algtermin ja r on suhe.

Kui suhe r ≤ 1, siis seeriad ühtlustuvad. Lõpmatu seeria korral antakse lähenemise väärtus S-ga_n = a / (1-r) 

Mis vahe on aritmeetilisel ja geomeetrilisel järjestusel / progressioonil??

• Aritmeetilises jadas on kõigil kahel järjestikusel terminil ühine erinevus (d), samas kui geomeetrilises järjestuses on mõlemal kahel järjestikusel terminil konstantne jaotus (r).

• Aritmeetilises järjestuses on terminite variatsioon lineaarne, st võib tõmmata sirge sirge, mis läbib kõiki punkte. Geomeetrilises reas on variatsioon eksponentsiaalne; kas kasvades või kõdunedes ühise suhte alusel.

• Kõik lõpmatu aritmeetilised jadad on erinevad, samas kui lõpmatud geomeetrilised jadad võivad olla kas lahknevad või ühtlustuvad.

• Geomeetriline jada võib näidata võnkumist, kui suhe r on negatiivne, samal ajal kui aritmeetiline jada ei näita võnkumist