Erinevus lineaarse ja mittelineaarse diferentsiaalvõrrandi vahel

Lineaarsed vs mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid
 

Võrrandit, mis sisaldab vähemalt ühte diferentsiaalkoefitsienti või tundmatu muutuja tuletist, nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks. Diferentsiaalvõrrand võib olla kas lineaarne või mittelineaarne. Selle artikli eesmärk on selgitada, mis on lineaarne diferentsiaalvõrrand, mis on mittelineaarne diferentsiaalvõrrand ja mis vahe on lineaarsel ja mittelineaarsel diferentsiaalvõrrandil.

Alates matemaatikute, näiteks Newtoni ja Leibnitzi, väljaarendamisest 18. sajandil on diferentsiaalvõrrand mänginud matemaatika loos olulist rolli. Diferentsiaalvõrranditel on nende rakenduste ulatuse tõttu matemaatikas suur tähtsus. Diferentsiaalvõrrandid on iga meie väljatöötatud mudeli keskmes, et selgitada mis tahes stsenaariumi või sündmust maailmas, olgu see siis füüsika, tehnika, keemia, statistika, finantsanalüüs või bioloogia (loetelu on lõputu). Kuni matemaatikast sai väljakujunenud teooria, polnud looduses huvitavate probleemide analüüsimiseks sobivaid matemaatilisi vahendeid saadaval.

Konkreetse arvutusrakenduse tulemusel saadud võrrandid võivad olla väga keerulised ja mõnikord mitte lahendatavad. Siiski on ka neid, mida me saame lahendada, kuid need võivad tunduda sarnased ja segased. Seetõttu liigitatakse diferentsiaalvõrrandid hõlpsamaks tuvastamiseks nende matemaatilise käitumise järgi. Lineaarne ja mittelineaarne on üks selline kategooria. Oluline on tuvastada erinevus lineaarsete ja mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite vahel.

Mis on lineaarne diferentsiaalvõrrand?

Oletame, et f: X → Y ja f (x) = y, a diferentsiaalvõrrand tundmatu funktsiooni mittelineaarsete tingimusteta y ja selle derivaate nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks.

See seab tingimuse, et y-l ei saa olla kõrgemad indeksiterminid nagu y², y³,… Ja tuletisinstrumentide kordsed nagu 

Samuti ei tohi see sisaldada mittelineaarseid termineid nagu Sin y, e^{y^ -2}, või ln y. See võtab vormi, 

kus y ja g on x. Võrrand on astme diferentsiaalvõrrand n, mis on kõrgeima järgu tuletise indeks.

Lineaarses diferentsiaalvõrrandis on diferentsiaaloperaator lineaarne operaator ja lahendused moodustavad vektorruumi. Lahenduste kogumi lineaarse olemuse tulemusel on lahendite lineaarne kombinatsioon ka diferentsiaalvõrrandi lahendus. See tähendab, et kui y₁ ja y₂ on diferentsiaalvõrrandi lahendid, siis C₁ y₁+ C₂ y₂ on ka lahendus.

Võrrandi lineaarsus on klassifikatsiooni ainult üks parameeter ja seda saab edaspidi liigitada homogeenseteks või mittehomogeenseteks ning tavalisteks või osalisteks diferentsiaalvõrranditeks. Kui funktsioon on g= 0, siis on võrrand lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand. Kui f on kahe või enama sõltumatu muutuja funktsioon (f: X, T → Y) ja f (x, t) = y , siis on võrrand lineaarne osaline diferentsiaalvõrrand.

Diferentsiaalvõrrandi lahendusmeetod sõltub diferentsiaalvõrrandi tüübist ja koefitsientidest. Lihtsaim juhtum tekib siis, kui koefitsiendid on püsivad. Klassikaline näide selle juhtumi kohta on Newtoni teine ​​liikumisseadus ja selle erinevad rakendused. Newtoni teine ​​seadus annab teise astme lineaarse diferentsiaalvõrrandi, mille koefitsiendid on püsivad.

Mis on mittelineaarne diferentsiaalvõrrand?

Võrrandid, mis sisaldavad mittelineaarseid termineid, on tuntud kui mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid.

 

Kõik ülaltoodud on mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Mittelineaarseid diferentsiaalvõrrandeid on keeruline lahendada, seetõttu on õige lahenduse saamiseks vajalik põhjalik uurimine. Osaliste diferentsiaalvõrrandite korral puudub enamikul võrranditest üldlahendus. Seetõttu tuleb igat võrrandit käsitleda iseseisvalt.

Navier-Stokesi võrrand ja Euleri võrrand vedeliku dünaamikas, Einsteini üldrelatiivsuste väljavõrrandid on hästi teada mittelineaarsed osalised diferentsiaalvõrrandid. Mõnikord võib Lagrange'i võrrandi rakendamine muutuva süsteemi jaoks põhjustada mittelineaarsete osaliste diferentsiaalvõrrandite süsteemi.

Mis vahe on lineaarsel ja mittelineaarsel diferentsiaalvõrrandil??

• Diferentsiaalvõrrandit, millel on ainult tundmatu või sõltuva muutuja ja selle tuletiste lineaarsed terminid, nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks. Sellel puudub termin sõltuva muutujaga, mille indeks on suurem kui 1, ja see ei sisalda mitu selle tuletist. Sellel ei saa sõltuva muutuja suhtes olla mittelineaarseid funktsioone, nagu trigonomeetrilised funktsioonid, eksponentsiaalfunktsioon ja logaritmilised funktsioonid. Iga diferentsiaalvõrrand, mis sisaldab ülalnimetatud termineid, on mittelineaarne diferentsiaalvõrrand.

• Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendused loovad vektorruumi ja diferentsiaaloperaator on vektorruumis ka lineaarne operaator.

• Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendused on suhteliselt lihtsamad ja olemas on üldised lahendused. Mittelineaarsete võrrandite puhul üldist lahendust enam ei eksisteeri ja lahendus võib olla probleemipõhine. See muudab lahendi lineaarvõrranditest palju raskemaks.