Erinevus ortogonaalse ja ortonormaalse vahel

Ortogonaalne vs Ortonormaalne

Matemaatikas kasutatakse sageli kahte sõna ortogonaalset ja ortonormaalset koos vektorite komplektiga. Siin kasutatakse mõistet 'vektor' selles mõttes, et see on vektorruumi element - lineaarses algebras kasutatav algebraline struktuur. Oma aruteluks kaalume toote sisemist ruumi - vektorruumi V koos sisemise tootega [] määratletud V.

Näiteks sisemise toote puhul on ruum kõigi kolmemõõtmeliste positsioonivektorite komplekt koos tavalise punktkorrutisega.

Mis on ortogonaalne?

Mittevaba alamhulk S sisemise tooteruumi V öeldakse olevat ortogonaalne, kui ja ainult siis, kui kummagi jaoks eristuv u, v sisse S, [u, v] = 0; see tähendab u ja v on võrdne sisemise tooteruumi null-skalaariga.

Näiteks kõigi kolmemõõtmeliste positsioonivektorite komplektis võrdub see väitega, et iga eraldi positsioonivektorite paari kohta lk ja q aastal S, lk ja q on üksteisega risti. (Pidage meeles, et selle vektoriruumi sisemine korrutis on punktkorrutis. Ka kahe vektori punktkorrutis võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui kaks vektorit on üksteisega risti.)

Mõelge komplektile S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), mis on kolmemõõtmeliste positsioonivektorite alamhulk. Pange tähele, et (0,2,0) (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 ja (0,2,0).(0,0,5) = 0. Seega komplekt S on ortogonaalne. Täpsemalt öeldes öeldakse, et kaks vektorit on ortogonaalsed, kui nende sisemine korrutis on 0. Seetõttu on iga vektoripaar sees Son ortogonaalne.

Mis on ortonormaalne?

Mittevaba alamhulk S sisemise tooteruumi V öeldakse, et see on ortonormaalne siis ja ainult siis S on ortogonaalne ja iga vektori jaoks u sisse S, [u, u] = 1. Seetõttu on näha, et iga ortonormaalne komplekt on ortogonaalne, kuid mitte vastupidi.

Näiteks kõigi kolmemõõtmeliste positsioonivektorite komplektis võrdub see väitega, et iga eraldi positsioonivektorite paari kohta lk ja q sisse S, lk ja q on üksteise ja kõigi suhtes risti lk sisse S, | p | = 1. Selle põhjuseks on seisund [p, p] = 1 taandub väärtusele p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, mis võrdub | p | = 1. Seetõttu saame ortogonaalse komplekti korral moodustada vastava ortonormaalse komplekti, jagades iga vektori selle suurusega.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) on kõigi kolmemõõtmeliste asukohavektorite kogumi ortonormaalne alamhulk. Lihtne on näha, et see saadi kõigi vektorite jagamisel komplektis S, nende suurusjärgu järgi.

Mis vahe on ortogonaalse ja ortonormaalse vahel??

• Mittevaba alamhulk S sisemise tooteruumi V öeldakse olevat ortogonaalne siis ja ainult siis, kui iga eraldi u, v sisse S, [u, v] = 0. Ortonormaalne on see aga iga vektori jaoks ainult siis, kui lisatingimus u sisse S, [u, u] = 1 on rahul.
• Iga ortonormaalne komplekt on risti, kuid mitte vastupidi.
• Iga ortogonaalne komplekt vastab unikaalsele ortonormaalsele komplektile, kuid ortonormaalne komplekt võib vastata paljudele ortogonaalsetele komplektidele.