Erinevus jõuseeria ja Taylori seeria vahel

Power Series vs Taylor Series

Matemaatikas on reaalne jada reaalarvude järjestatud loend. Formaalselt on see funktsioon naturaalarvude hulgast reaalarvude komplektini. Kui a_non n^th jada terminit, tähistame seda järjestust või a₁, a₂,…, A_n,… .Näiteks kaaluge jada 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,… Seda saab tähistada kui 1 / n.

Sarja saab määratleda järjestuste abil. Jada on jada tingimuste summa. Seetõttu on iga jada jaoks seotud jada ja vastupidi. Kui a_n on vaadeldav jada, siis saab selle jada moodustatud seeriaid esitada järgmiselt:                                           

 Seega on ülaltoodud näites seotud seeria 1+¹/₂+¹/₃+…  + ¹/_n +… . 

Nagu nimed viitavad, on jõuseeriad seeriatüübid ja seda kasutatakse laialdaselt arvulises analüüsis ja sellega seotud matemaatilises modelleerimises. Taylori seeria on spetsiaalne jõuseeria, mis pakub alternatiivset ja hõlpsasti käsitsetavat viisi tuntud funktsioonide esitamiseks.

Mis on Power-seeria?

Jõuseeria on vormi jada

    

mis on ühtlane (võimalik) mõne intervalli keskel c. Koefitsiendid a_n võivad olla tegelikud või keerulised numbrid ja on sõltumatud x; s.t.. näiv muutuja.

Näiteks seades a_n= 1 kummagi kohta n, ja c = 0, jõuseeria 1 + x + x²+… + Xⁿ+… On saadud. Lihtne on jälgida, et kui x ε (-1,1), läheneb see toiteseeria väärtuseks 1 / (1-x).          

Jõusari läheneb, kui x = c. Muud väärtused x mille jaoks energiaseeria ühtlustub, alati avatud intervalli kujul, mille keskpunkt on c. See on, seal on väärtus 0≤ R ≤ ∞ nii, et igaühe jaoks x rahuldav | x-c | ≤R, võimsuse seeriad on ühtlustuvad ja seda igaühe jaoks x  rahuldav | x-c |>R, võimsuse seeriad on erinevad. See väärtus R nimetatakse jõuseeria lähenemisraaduseks (R võib võtta mis tahes tegeliku väärtuse või positiivse lõpmatuse).

Jõuseeriaid saab järgmiste reeglite abil liita, lahutada, korrutada ja jagada. Vaatleme kahte jõuseeriat:       

   

                               .

Siis,                 

s.t.. nagu termineid liidetakse või lahutatakse. Samuti on identiteedi abil võimalik kahte jõuseeriat korrutada ja jagada,

Mis on Taylori sari?

Taylori seeria on funktsiooni jaoks määratletud f(x), mis on intervalliga lõpmatult eristatav. Oletame f(x) on eristatav intervalliga, mille keskpunkt on c. Siis jõuseeria, mille annab

                                                                                                                                

nimetatakse funktsiooni Taylori seeria laiendamiseks f(x) umbes c. (Siin f⁽ⁿ⁾(c) Tähistavad n^th tuletis kell x = c). Numbrilises analüüsis kasutatakse selles lõpmatus laienduses arvulisi termineid väärtuste arvutamiseks punktides, kus seeria on algse funktsiooniga ühtlustunud.

Funktsioon f(x) on väidetavalt intervallides analüütilinea, b), kui iga x ε (a, b) jaoks on Taylori seeria f(x) läheneb funktsioonile f(x). Näiteks on 1 / (1-x) analüütiliselt (-1,1), kuna selle Taylori laiendus 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Läheneb selle intervalli funktsioonile ja e^x  on analüütiline kõikjal, alates Taylori seeriast e^xläheneb e^x iga reaalarvu kohta x.

Mis vahe on Power-sarja ja Taylori-sarja vahel??

1. Taylori seeria on spetsiaalne jõuseeriate klass, mis on määratletud ainult funktsioonide jaoks, mida saab mingil avatud intervallil lõpmatult eristada.

2. Taylori seeriad saavad erivormi

        

arvestades, et jõuseeria võib olla mis tahes vormis seeria