Erinevus Riemann Integral ja Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integreerimine on arvutustes peamine teema. Laiemas tähenduses võib integratsiooni vaadelda diferentseerimise pöördprotsessina. Reaalse maailma probleemide modelleerimisel on lihtne kirjutada tuletisi sisaldavaid avaldisi. Sellises olukorras tuleb integratsioonitoiming leida funktsioon, mis andis konkreetse tuletise.

Teise nurga alt on integratsioon protsess, mis võtab kokku funktsiooni ƒ (x) ja δx korrutise, kus δ kipub olema teatud piir. Seetõttu kasutame integratsiooni sümbolit kui ∫. Sümbol ∫ on tegelikult see, mille saame tähe s sirutamisel summale viitamiseks.

Riemann Integral

Vaatleme funktsiooni y = ƒ (x). Y-i integraal vahel a ja b, kus a ja b kuuluvad hulka x, kirjutatakse kui _b∫^aƒ (x) dx = [F(x)]_a→b = F(b) - F(a). Seda nimetatakse ühe väärtusega ja pideva funktsiooni y = ƒ (x) kindlaks integraaliks a ja b vahel. Nii saadakse kõvera alune pindala vahemikus a ja b. Seda nimetatakse ka Riemann integraaliks. Riemann integraali lõi Bernhard Riemann. Pideva funktsiooni Riemann-integraal põhineb Jordaania mõõtmel, seetõttu määratletakse see ka funktsiooni Riemann-i summade piirina. Suletud intervalliga määratletud tegeliku väärtusega funktsiooni jaoks on funktsiooni Riemann-integraal jaotise x suhtes₁, x₂,…, X_n defineeritud intervallides [a, b] ja t₁, t₂,…, T_n, kus x_i ≤ t_i ≤ x_{i + 1} iga i ε 1, 2,…, n jaoks on Riemann'i summa defineeritud kui Σ_{i = o kuni n-1} ƒ (t_i) (x_{i + 1} - x_i).

Lebesgue'i integraal

Lebesgue on veel üks integraali tüüp, mis hõlmab palju erinevaid juhtumeid kui Riemann integraal. Lebesgue'i integraali võttis kasutusele Henri Lebesgue 1902. aastal. Legesgue'i integreerimist võib pidada Riemann'i integratsiooni üldistuseks.

Miks peame uurima teist integraali??

Vaatleme iseloomulikku funktsiooni ƒ_{A (x) = 0, kui, x mitte ε A}^{1, kui, x ε A} siis komplekti A. Siis iseloomulike funktsioonide piiratud lineaarne kombinatsioon, mis määratletakse kui F(x) = Σ a_iƒE_i(x) nimetatakse lihtsaks funktsiooniks, kui E_i on mõõdetav iga i jaoks. Lebesgue'i integraal F(x) üle E tähistab _E∫ ƒ (x) dx. Funktsioon F(x) ei ole Riemann integreeritav. Seetõttu on Lebesgue'i integraal ümber sõnastatud Riemann-integraaliks, millel on integreeritavatele funktsioonidele mõned piirangud.