Kindlate ja määramatute integraalide erinevus

Kalkuleerimine on oluline matemaatika haru ja diferentseerimisel on arvutamisel kriitiline roll. Diferentseerimise pöördprotsessi nimetatakse integratsiooniks ja pöördvõrdelist nimetatakse integraaliks, või lihtsalt öeldes, diferentseerimise pöördväärtus annab integraali. Tulemuste põhjal jagatakse integraalid kaheks klassiks, nimelt lõplikuks ja määramatuks.

Kindlasti integraalne

Kindla integraal f (x) on NUMBER ja tähistab kõvera all olevat ala f (x) alates x = a kuni x = b.

Kindlal integraalil on integraalide ülemised ja alumised piirid ning seda nimetatakse lõplikuks, kuna probleemi lõpus on meil arv - see on kindel vastus.

Määramatu integraal

Funktsiooni f (x) määramatu integraal on FUNKTSIOON ja see vastab küsimusele „Milline funktsioon diferentseerumisel annab f (x)?”

Tähtajatu integraali puhul pole siin integraalil ülemisi ega alumisi piire ning me saame vastuse, millel on endiselt xon selles ja sellel on ka konstant (tavaliselt tähistatakse C) selles.

Määramatu integraal annab diferentsiaalvõrrandile tavaliselt üldlahenduse.

Määramatu integraal on rohkem integratsiooni üldvorm ja seda saab tõlgendada vaadeldava funktsiooni anti-tuletisena.

Oletame funktsiooni eristamist F viib teise funktsiooni juurde f, ja f integratsioon annab integraali. Sümboolselt kirjutatakse see nii

F (x) = ∫ƒ (x) dx

või

F = ∫ƒ dx

kus mõlemad F ja ƒ on x, ja F on eristatav. Ülaltoodud kujul nimetatakse seda Reimanni integraaliks ja sellest tulenev funktsioon kaasneb suvalise konstandiga.

Määramatu integraal loob sageli funktsioonide perekonna; seetõttu on integraal määramatu.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamise keskmes on integraalid ja integratsiooniprotsess. Kuid erinevalt diferentseerimise etappidest ei järgi integratsioonietapid alati selget ja standardset rutiini. Vahel näeme, et lahendust ei saa elementaarse funktsiooni osas selgesõnaliselt väljendada. Sel juhul antakse analüütiline lahus sageli määramata integraali kujul.

Kalkulatsiooni põhiteoreem

Kindla ja määramatu integraali seovad Calculuse põhiteoreem järgmiselt: a kindel integraal, leidke määramatu integraal (tuntud ka kui anti-derivaat) funktsiooni ja hinnata lõpp-punktides x = a ja x = b.

Kindlate ja määramatute integraalide erinevus ilmneb pärast sama funktsiooni integraalide hindamist.

Mõelge järgmisele integraalile:

OKEI. Teeme mõlemad ära ja näeme erinevust.

Integreerimiseks peame indeksi lisama ühe, mis viib meid järgmise avaldise juurde:

Sel ajahetkel C on meie jaoks lihtsalt konstant. Täpse väärtuse määramiseks on probleemis vaja lisateavet C.

Hinnakem seda sama integraali kindlal kujul, st koos ülemise ja alumise piiriga.

Graafiliselt öeldes arvutame nüüd kõvera aluse pindala f (x) = y³ vahel y = 2 ja y = 3.

Selle hindamise esimene samm on sama, mis tähtajatu integraalhindamine. Ainus erinevus on see, et seekord me ei lisa konstanti C.

Sellel juhul on väljend järgmine:

See omakorda viib:

Põhimõtteliselt asendasime avaldis 3 ja siis 2 ja saime nende vahel erinevuse.

See on kindel väärtus, mitte aga konstandi kasutamine C varem.

Uurime konstantset tegurit (seoses määramatu integraaliga) veel detailsemalt.

Kui erinevus on y³ on 3 aastat², siis

∫3 aastat²dy = y³

Kuid, 3 aastat² võib olla paljude avaldiste diferentsiaal, millest mõned hõlmavad y³-5, y³+7, jne… See tähendab, et ümberpööramine pole ainulaadne, kuna konstanti ei arvestata operatsiooni ajal.

Nii et üldiselt, 3 aastat² on erinevus y³+C kus C on ükskõik milline konstant. Muuseas, C on tuntud kui 'integratsiooni pidev'.

Me kirjutame selle järgmiselt:

∫ 3 aastat².dx = y³ + C

Lõpmatu integraali integratsioonitehnikad, näiteks tabeli otsing või Rischi integratsioon, võivad integratsiooniprotsessi ajal lisada uusi katkendusi. Need uued katkendused ilmnevad seetõttu, et antiderivaadid võivad nõuda keerukate logaritmide kasutuselevõttu.

Komplekssetel logaritmidel on hüppeline katkendlikkus, kui argument ületab negatiivse tegeliku telje, ja integratsioonialgoritmid ei leia mõnikord esitust, kus need hüpped tühistavad.

Kui kindlat integraali hinnatakse, arvutades kõigepealt määramatu integraali ja asendades seejärel integratsiooni piirid tulemusega, peame olema teadlikud, et määramatu integratsioon võib põhjustada katkevusi. Kui see juhtub, peame lisaks uurima integreerimisintervalli katkestusi.