Erinevus ratsionaalsete ja irratsionaalsete arvude vahel

Mõiste “numbrid” toob meie meelde, mida tavaliselt liigitatakse positiivsete täisarvude väärtuseks, mis on suurem kui null. Muud numbriklassid hõlmavad täisarvud ja fraktsioonid, keeruline ja reaalarvud ja ka negatiivsed täisarvud.

Laiendades numbrite klassifikatsiooni veelgi, puutume kokku ratsionaalne ja irratsionaalne numbrid. Ratsionaalne arv on arv, mille saab kirjutada murdosaga. Teisisõnu, ratsionaalse arvu saab kirjutada kahe numbri suhtena.

Mõelge näiteks numbrile 6. Seda saab kirjutada kahe numbri suhtena. 6 ja 1, mis viib suhte 6/1. Samamoodi, 2/3, mis on kirjutatud murdarvuna, on ratsionaalne arv.

Seega võime ratsionaalse arvu määratleda murdarvuna kirjutatud arvuna, kusjuures nii lugeja (number ülal) kui ka nimetaja (number all) on täisarvud. Seetõttu on definitsiooni järgi iga täisarv ka ratsionaalne arv.

Kahe suure arvu suhe, näiteks (129 367 871)/(547 724 863) oleks ka näide ratsionaalsest numbrist sel lihtsal põhjusel, et nii lugeja kui ka nimetaja on täisarvud.

Ja vastupidi, mis tahes arvu, mida ei saa väljendada murdarvu või suhtena, nimetatakse irratsionaalseks. Irratsionaalse arvu kõige sagedamini viidatud näide on √2 (1,414213…). Irratsionaalse arvu teine ​​populaarne näide on arvkonstant π (3.141592… ).

Irratsionaalset arvu saab kirjutada kümnendkohaga, kuid mitte murdarvuna. Irratsionaalseid numbreid ei kasutata igapäevaelus sageli, ehkki numbrite real need on olemas. Nende vahel on lõpmatu arv irratsionaalseid numbreid 0 ja 1 numbrireal. Irratsionaalsel arvul on komakohast paremal lõputud korduvad numbrid.

Pange tähele, et sageli viidatud väärtus 22/7 konstandi jaoks π on tegelikult ainult üks väärtustest π. Määratluse järgi on ringi ümbermõõt, jagatud raadiusega kahekordseks, väärtuseks π. See toob kaasa mitu väärtust π, sealhulgas, kuid mitte ainult, 333/106, 355/113 ja nii edasi1.

Ainult ruutnumbrite ruudukujulised juured; st ruudu juured täiuslikud ruudud on ratsionaalsed.

√1= 1 (Ratsionaalne)

√2 (Irratsionaalne)

√3 (Irratsionaalne)

√4 = 2 (Ratsionaalne)

√5, √6, √7, √8 (Irratsionaalne)

√9 = 3 (Ratsionaalne) ja nii edasi.

Lisaks märgime, et ainult njuured nth võim on ratsionaalne. Seega 6 juur 64 on ratsionaalne, sest 64 on 6 võim, nimelt 6 jõud 2. Kuid 6 juur 63 on irratsionaalne. 63 pole täiuslik 6th vägi.

Paratamatult tuleb pilti irratsionaalide kümnendmoodustus ja see annab huvitavaid tulemusi.

Kui me väljendame a ratsionaalne number kümnendarvuna, siis kumbki koma täpne (nagu 1/5= 0,20) või saab olema ebatäpne (nagu, 1/3 ≈ 0,3333). Mõlemal juhul on olemas numbrite ennustatav muster. Pange tähele, et kui irratsionaalne arvu väljendatakse kümnendkohaga, siis on see selgelt ebatäpne, sest vastasel juhul oleks arv ratsionaalne.

Lisaks ei teki ennustatavat numbrimudelit. Näiteks,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Nüüd, ratsionaalsete numbritega, kohtame aeg-ajalt 1/11 = 0,0909090.

Mõlema võrdusmärgi (=) ja kolm punkti (ellipsis) tähendab, et kuigi seda pole võimalik väljendada 1/11 täpselt kümnendkoha täpsusena, saame selle siiski ligikaudseks arvutada nii palju komakohtadega, kui on lubatud lähedale 1/11.

Seega kümnendarv 1/11 loetakse ebatäpseks. Samamoodi võib kümnendarvu  ¼ mis on 0,25, on täpne.

Irratsionaalsete arvude kümnendarv tuleb alati ebatäpseks. Jätkates näitega √2, kui kirjutame √2 = 1,41421356237… (Pange tähele ellipside kasutamist), tähendab see kohe, et koma pärast koma ei kasutata √2 saab olema täpne. Lisaks ei teki ennustatavat numbrimustrit. Numbriliste meetodite kontseptsioone kasutades saame jällegi arvutada nii palju komakohad, kuni punktini, mille lähedal oleme √2.

Ükski märkus ratsionaalsete ja irratsionaalarvude kohta ei saa lõppeda ilma kohustusliku tõendita selle kohta, miks √2 on irratsionaalne. Seejuures selgitame välja ka klassikalise näite a-st tõend jätkubkiirgus.

Oletame, et √2 on ratsionaalne. See viib meid esindama seda näiteks kahe täisarvu suhtena lk ja q.

√2 = p / q

Ütlematagi selge, lk ja q pole ühiseid tegureid, sest kui oleks ühiseid tegureid, oleksime need lugejast ja nimetajast välja jätnud.

Võrrandi mõlemale poolele ruutumisel jõuame lõppu,

2 = lk2 / q2

Seda saab mugavalt kirjutada järgmiselt,

lk2 = 2q2

Viimane võrrand viitab sellele lk2 on ühtlane. See on võimalik ainult siis lk ise on ühtlane. See omakorda tähendab seda lk2 jaguneb 4. Seega, q2 ja sellest tulenevalt q peab olema ühtlane. Nii lk ja q on mõlemad isegi, mis on vastuolus meie esialgse oletusega, et neil pole ühiseid tegureid. Seega, √2 ei saa olla ratsionaalne. Q.E.D.