Erinevus tegelike numbrite ja täisarvude vahel

Matemaatikud on välja töötanud süsteemid täpsustamaks, kuidas teatud arv erineb teisest. Sarnaselt teiste mõistetega kattuvad numbrikategooriad. Kuna reaalarvud sisaldavad kõiki ratsionaalseid numbreid, nagu täisarvud, on neil sarnased omadused, näiteks täisarvude kasutamine ja numbrijoonele joonistamine. Seetõttu on peamine erinevus selles, et reaalarvud on üldine klassifikatsioon, samas kui täisarvud on alamhulk, mida iseloomustatakse täisarvudena, millel võivad olla negatiivsed omadused.

Mis on tegelikud numbrid?

Pärisarvud on väärtused, mida võite leida numbrirealt, mida tavaliselt väljendatakse geomeetrilise horisontaaljoonena, kus valitud punkt toimib lähtepunktina. Paremale küljele langevad märgitakse positiivseteks, vasakpoolsed aga negatiivseteks. Kirjelduse “päris” esitas 17. sajandil kuulus matemaatik ja filosoof Rene Descartes. Eriti tegi ta vahet polünoomide tegelike ja nende kujutletavate juurte vahel.

Realarvud hõlmavad täisarvu, täisarvu, naturaalset, ratsionaalset ja irratsionaalset arvu:

• Terved numbrid

Tervearv on positiivne arv, millel pole murdosa ega koma, kuna need tähistavad terveid objekte ilma fragmentide või tükkideta.

• Täisarvud

Täisarv on täisarv, mis sisaldab numbrirea negatiivset külge.

• Naturaalarvud

Naturaalarvud on tuntud ka kui loendavad numbrid, nagu täisarvud, kuid null ei sisaldu, kuna mitte midagi ei saa sisuliselt arvestada kui „0”.

• Ratsionaalsed numbrid

Vana-Kreeka matemaatik kuulutas Pythagorase päritolu kohta, et kõik numbrid on ratsionaalsed. Ratsionaalarvud on kahe täisarvu jagajad või murdarvud. Kui p ja q on mõlemad täisarvud ja q ei ole võrdne nulliga, on p / q ratsionaalne arv. Näiteks 3/5 on ratsionaalne arv, kuid 3/0 mitte.

• Irratsionaalsed numbrid

Pythagorase õpilane Hippasus ei nõustunud, et kõik numbrid olid ratsionaalsed. Geomeetria kaudu tõestas ta, et mõned numbrid olid irratsionaalsed. Näiteks kahe ruutjuur, mis on 1,41, ei saa väljendada murdarvuna; järelikult on see irratsionaalne. Kahjuks ei aktsepteerinud Pythagorase järgijad ratsionaalsete numbrite tegelikkust. Selle tagajärjel uppus Hippasus merre, mida tol ajal väideti olevat jumalate karistuseks.

Mis on täisarvud??

Ladinakeelsest sõnast “täisarv”, mis tõlkes tähendab “tervet” või “puutumatut”, pole neil numbritel murdosa ega kümnendkomponenti, nagu ka täisarvudel. Need numbrid sisaldavad positiivseid naturaalarvu või loendusnumbreid ja nende negatiivseid. Näiteks -3, -2, -1, 0, -1, 2, 3 on täisarvud. Tavalised illustratsioonid on võrdselt paigutatud numbrid lõpmatu arvu real, mille keskel on null, mis ei ole ei positiivne ega negatiivne. Seega on positiivsed suuremad kui negatiivsed.

Järgmiste kontode ajalugu jälgib, kuidas täisarvu esmakordselt kasutati:

• Aastal 200 B.C. Negatiivseid numbreid esindati antiik-Hiinas esmakordselt punaste varrastega.
• Ligikaudu 630 AD-s kasutati India võla kajastamiseks negatiivseid numbreid.
• Saksa matemaatik Arbermouth Holst tutvustas 1563. aastal täisarvude lisamist ja korrutamist. Ta arendas süsteemi vastusena kasvavale küülikute ja elevantide arvule, kellega ta eksperimenteeris.

Järgnevad on täisarvude omadused:

• Positiivne

Numbrid rea paremas servas on positiivsed ja nad tähistavad sageli nende negatiivsete vastete suuremat väärtust.

• Negatiivne

Numbreid rea vasakpoolses servas olevaid numbreid peetakse nende positiivsete vastete väiksemaks standardväärtuseks.

• Neutraalne

Numbrirea kese, null on täisarv, mis ei ole positiivne ega negatiivne.

• Ei ühtegi fragmenti

Nagu täisarvudel, pole ka täisarvudel koma ega murdosa.

Erinevus tegelike numbrite ja täisarvude vahel

Pärisarvude ja täisarvude ulatus

Realarvud hõlmavad täisarvu, ratsionaalset, irratsionaalset, naturaalset ja täisarvu. Teisest küljest on täisarvude ulatus seotud peamiselt täisarvudega, mis on negatiivsed ja positiivsed. Seega on reaalarvud üldisemad.

Fraktsioonid

Pärisarvud võivad sisaldada murdosasid, näiteks ratsionaalseid ja irratsionaalseid numbreid. Kuid murdarvud ei saa olla täisarvud.

Kõige vähem ülaosaga vara

Pärisarvudel on madalaima ülaosaga omadus, mida nimetatakse ka täielikuseks. See tähendab, et reaalarvude lineaarsel hulgal on alamhulgad, millel on ülaomaduste omadused. Vastupidi, täisarvudel pole madalaima ülaosaga omadust.

Arhiimede vara

Archimedeani omandit, mille puhul eeldatakse, et on olemas naturaalarv, mis on võrdne või suurem kui mis tahes reaalarv, saab rakendada reaalarvudele. Vastupidi, Archimedeani vara ei saa täisarvudele rakendada.

Väli

Pärisarvud on mingi väli, mis on oluline algebraline struktuur, kus on määratletud aritmeetilised protsessid. Vastupidi, täisarvu ei peeta väljaks.

Loendatav

Komplektina on reaalarvud loendamatud, samas kui täisarvud on loendatavad.

Pärisarvude ja täisarvude sümbolid

Reaalseid numbreid sümboliseeritakse tähega R, täisarvu komplekti sümboliseeritakse tähega Z. N. Bourbaki, 1930. aastate prantsuse matemaatikute rühm, määras saksakeelsest sõnast “Zahlen” tähe “Z”, mis tähendab arvu või täisarvu.

Sõna päritolu pärisnumbrite ja täisarvude jaoks

Pärisarvud tähistasid polünoomi tegelikke juuri, samas kui täisarv tuli ladinakeelsest sõnast “tervik”, kuna need ei sisalda kümnendkohti ega murdosa.

Pärisarvud vs täisarvud

Pärisarvude ja täisarvude kokkuvõte

• Numbrireale saab joonistada nii reaalarvu kui ka täisarvu.
• Täisarvud on reaalarvude alamhulk.
• Täisarvudel on negatiivsed arvud.
• Komplektina on reaalarvud võrreldes täisarvudega üldisem.
• Erinevalt täisarvudest võivad reaalarvud sisaldada murdosasid ja koma.
• Kõige vähem seotud, Archimedeani ja välja atribuudid on üldiselt rakendatavad reaalarvudele, kuid mitte täisarvudele.
• Erinevalt pärisnumbritest on täisarvud rangelt loendatavad.
• “R” tähistab reaalarvu ja “Z” täisarvu.