Kardinaalsete ja tavaliste numbrite erinevus

Kardinal vs Ordinal 
 

Meie igapäevases elus võib numbrite kasutamine erinevates olukordades erineda. Näiteks kui arvestada esemete kogumi suuruse väljaarvutamisega, loeme need üheks, kaheks, kolmeks ja nii edasi. Kui tahame midagi loendada, et saada objektide asukohast aru, loendame need esimeseks, teiseks, kolmandaks jne. Loendamise esimeses vormis öeldakse, et numbrid on kardinaalsed numbrid. Loendamise teises vormis loetakse numbrid järgarvuks. Selles kontekstis on mõisted kardinal ja ordinal täielikult keeleteaduse küsimus; kardinal ja ordinal on omadussõnad.

Mõiste laiendamine matemaatikas komplektidele näitab aga palju sügavamat ja laiemat vaatenurka ning seda ei saa lihtsustatult käsitleda. Selles artiklis püüame mõista matemaatikas kardinaalsete ja järgarvuliste arvude põhimõisteid.

Kardinaalsete ja järgarvude formaalsed määratlused on esitatud kogumiteoorias. Definitsioonid on keerukad ja nende mõistmiseks tähttekstis on vaja taustateadmisi komplektteoorias. Seetõttu pöördume mõne näite poole, et mõisteid heuristiliselt mõista.

Mõelge kahele komplektile 1,3,6,4,5,2 ja bussile, autole, parvlaevale, rongile, lennukile, helikopterile. Iga komplekt loetleb elementide komplekti ja kui arvestada elementide arvu, on ilmne, et kõigil on sama arv elemente, mis on 6. Sellele järeldusele jõudes oleme võtnud ühe komplekti suuruse ja võrrelnud seda teisega, kasutades number. Sellist arvu nimetatakse kardinalinumbriks. Seetõttu võime öelda, et kardinaalne arv on arv, mida saame kasutada piiratud komplektide suuruse võrdlemiseks.

Esimese numbrikomplekti saab jällegi korraldada kasvavas järjekorras, arvestades iga elemendi suurust ja neid omavahel võrreldes. Tellimise käigus peetakse numbreid kardinalideks. Samuti saab kõigi mittenegatiivsete täisarvude komplekti tellida komplektina; st 0,1,2,3,4, .... Kuid sel juhul muutub komplekti suurus lõpmatuks ja selle ordinaalide mõttes andmine pole võimalik. Pole tähtis, kui suure arvu komplekti suuruse valimiseks valite, jääb siiski valitud numbrist välja numbreid, mis on mittenegatiivsed täisarvud.

Seetõttu määratlevad matemaatikud seda lõpmatut kardinaali (mis on esimene) kui Aleph-0, kirjutatud kui א (esimene täht heebrea tähestikus). Formaalselt on järjekorranumber hästi järjestatud komplekti järjekorra tüüp. Seetõttu saab piiritletud komplektide järjenumbrit anda kardinaalsete numbritega, lõpmatute komplektide korral aga ordinaalseid numbreid transfinite arvude abil, näiteks Aleph-0.

Mis vahe on kardinal- ja ordinalinumbritel??

• Kardinalarv on arv, mida saab kasutada loendamiseks või piiratud tellitud komplekti suuruse määramiseks. Kõik kardinalinumbrid on tavalised.

• Järjestiklikud numbrid on numbrid, mida kasutatakse nii piiratud kui ka lõpmatu järjestatud komplektide suuruse määramiseks. Piiratud järjestatud komplektide suurus antakse tavaliste hindu-araabia algebraliste numbritega ja lõpmatu komplekti suurus antakse transfinite numbritega.