Erinevus tuletisinstrumentide ja integraalide vahel

Tuletis vs integraal

Diferentseerimine ja integreerimine on Calculuse kaks peamist toimingut. Neil on arvukalt rakendusi mitmes valdkonnas, näiteks matemaatika, tehnika ja füüsika. Nii tuletis kui integraal käsitlevad meid huvitava funktsiooni käitumist või füüsilise olemi käitumist.

Mis on tuletisinstrument?

Oletame, et y = ƒ (x) ja x₀ on domeeni ƒ. Siis lim_{Δx → ∞}Δy / Δx = lim_{Δx → ∞}[ƒ (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx nimetatakse ƒ hetkeks muutumiskiiruseks x juures₀, kui see piir eksisteerib lõplikult. Seda piiri nimetatakse ka at-i tuletiseks ja tähistatakse tähega x (x).

Funktsiooni tuletise väärtus f suvalises punktis x funktsiooni domeenis on antud lim_{Δx → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. Seda tähistatakse ühega järgmistest avaldistest: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_xy.

Mitme muutujaga funktsioonide jaoks määratleme osalise tuletise. Mitme muutujaga funktsiooni osaline tuletis on selle tuletis ühe muutuja suhtes, eeldades, et muud muutujad on konstandid. Osalise tuletise sümbol on ∂.

Geomeetriliselt saab funktsiooni tuletist tõlgendada kui funktsiooni kõvera kalle ƒ (x).

Mis on integraalne?

Integratsioon ehk diferentseerumine on diferentseerumise vastupidine protsess. Teisisõnu, see on algfunktsiooni leidmise protsess, kui antakse funktsiooni tuletis. Seetõttu on funktsiooni ƒ (x) integraal või antiderivaat, kui ƒ (x) =F(x) saab määratleda funktsioonina F(x), kõigi x puhul domeenis ƒ (x).

Lause ∫ƒ (x) dx tähistab funktsiooni ƒ (x) tuletist. Kui ƒ (x) =F(x), siis ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, kus C on konstant, ∫ƒ (x) dx nimetatakse ƒ (x) määramatuks integraaliks.

Mis tahes funktsiooni ƒ jaoks, mis ei ole tingimata mittenegatiivne ja on määratletud intervalliga [a, b], _a∫^bƒ (x) dx nimetatakse lõplikuks integraaliks ƒ [a, b] -l.

Kindel integraal _a∫^bFunktsiooni ƒ (x) dx x (x) dx saab geomeetriliselt tõlgendada kõvera ƒ (x), x-telje ja sirgetega x = a ja x = b piiratud piirkonna pindalana.