Erinevus tuletisinstrumentide ja diferentsiaalide vahel

Tuletis vs diferentsiaal
 

Diferentsiaalkalkulatsioonis on funktsiooni tuletis ja diferentsiaal omavahel tihedalt seotud, kuid nende tähendus on väga erinev, ja neid kasutatakse kahe olulise eristatavate funktsioonidega seotud matemaatilise objekti tähistamiseks..

Mis on tuletis?

Funktsiooni tuletis mõõdab funktsiooni väärtuse muutumise kiirust sisendi muutudes. Mitmemõõtmeliste funktsioonide puhul sõltub funktsiooni väärtuse muutus sõltumatute muutujate väärtuste muutumise suunast. Seetõttu valitakse sellistel juhtudel konkreetne suund ja funktsioon eristatakse selles konkreetses suunas. Seda tuletist nimetatakse suunatuletiseks. Osalised tuletised on spetsiaalsed suundtuletised.

Vektoriga väärtustatud funktsiooni tuletis f võib määratleda piirina kõikjal, kus see lõplikult eksisteerib. Nagu varem mainitud, annab see meile funktsiooni suurenemise määra f piki vektori suunda u. Ühe väärtusega funktsiooni korral taandub see tuletise üldtuntud määratlusele,  

Näiteks, on kõikjal eristatav ja tuletis on võrdne limiidiga, , mis on võrdne . Selliste funktsioonide tuletised nagu   olemas kõikjal. Need on vastavalt funktsioonidega võrdsed .                                                                                

Seda tuntakse esimese tuletisinstrumendina. Tavaliselt funktsiooni esimene tuletis f tähistab f ⁽¹⁾. Nüüd, kasutades seda märget, on võimalik määratleda kõrgema järgu tuletised. on teise astme suunatuletis, mis tähistab n^th tuletis poolt f ⁽ⁿ⁾ igaühele n, ,  määratleb n^th tuletis.

Mis on diferentsiaal?

Funktsiooni diferentsiaal tähistab funktsiooni muutust sõltumatu muutuja või muutujate muutuste osas. Antud funktsiooni jaoks tavalises märkuses f ühe muutujaga x, järjekorra koguerinevus 1 df on antud, . See tähendab, et lõpmatu muutuse korral x(s.o dx), tekib a  f ⁽¹⁾(x) dx muutus sisse f.

Piirangute kasutamisel võib selle määratluse saada järgmiselt. Oletame ∆x on muutus x suvalises punktis x ja ∆f on funktsiooni vastav muutus f. Võib näidata, et ∆f = f ⁽¹⁾(x) ∆x+ ϵ, kus ϵ on viga. Nüüd, piir ∆x →0^∆f/_∆x= f ⁽¹⁾(x) (kasutades tuletise eelnevalt määratletud määratlust) ja seega ∆x →0^ϵ/_∆x= 0. Seetõttu on võimalik järeldada, et ∆x →0ϵ = 0. Nüüd tähistame ∆x →0 ∆f nagu df ja ∆x →0 ∆x nagu dx diferentsiaali määratlus saadakse rangelt. 

Näiteks funktsiooni diferentsiaal on .

Kahe või enama muutuja funktsioonide korral määratletakse funktsiooni kogu diferentsiaal diferentsiaalide summana iga sõltumatu muutuja suunas. Matemaatiliselt võib seda öelda järgmiselt: .