Erinevus integratsiooni ja summeerimise vahel

Integratsioon vs summeerimine
 

Keskkooli matemaatikas leitakse matemaatilistes toimingutes sageli integratsiooni ja liitmist. Näiliselt kasutatakse neid erinevate tööriistadena ja erinevates olukordades, kuid neil on väga lähedased suhted.

Lisateave summeerimise kohta

Summeerimine on numbrijada lisamise toiming ja seda operatsiooni tähistatakse sageli kreeka kapitali tähega sigma Σ. Seda kasutatakse summeerimise lühendamiseks, mis võrdub jada summaga. Neid kasutatakse sageli seeria esindamiseks, mis on kokkuvõtlikult lõpmatud jadad. Neid saab kasutada ka vektorite, maatriksite või polünoomide summa märkimiseks.

Summeerimine toimub tavaliselt väärtuste vahemiku jaoks, mida saab tähistada üldterminiga, näiteks seeriaga, millel on ühine termin. Summeerimise algus- ja lõpp-punkti tuntakse vastavalt summeerimise alumise ja ülemise piirina.

Näiteks jada summa a₁, a₂, a₃, a₄, …, A_n on₁ + a₂ + a₃ +… + A_n mida saab hõlpsasti esitada summeerimismärke kasutades kui ∑ⁿ_{i = 1} a_i; i nimetatakse summeerimise indeksiks.

Rakenduse põhjal kasutatakse summeerimiseks palju variatsioone. Mõnel juhul võib ülemise ja alumise piiri anda intervalli või vahemikuna, näiteks ∑_1≤i≤100 a_i ja ∑_{i∈ [1100]} a_i. Või võib selle anda numbrikomplektina nagu ∑_i∈P a_i , kus P on määratletud komplekt.

Mõnel juhul võib kasutada kahte või enamat sigmamärki, kuid neid saab üldistada järgmiselt; ∑_j ∑_k a_jk = ∑_{j, k} a_jk.

Samuti järgib liitmine paljusid algebralisi reegleid. Kuna manustatud toiming on lisand, saab paljusid algebra üldreegleid kohaldada summadele endale ja summeerimisel kujutatud üksikutele terminitele.

Lisateave integratsiooni kohta

Integreerimist määratletakse diferentseerimise pöördprotsessina. Kuid selle geomeetrilises vaates võib seda pidada ka funktsiooni kõvera ja teljega ümbritsetud alaks. Seetõttu annab pindala arvutamine kindla integraali väärtuse, nagu on näidatud diagrammil.

Pildiallikas: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Kindla integraali väärtus on tegelikult kõvera ja telje sees olevate väikeste ribade summa. Iga riba pindala on kõrgus × laius vaadeldava telje punktis. Laius on väärtus, mida saame valida, öeldes ∆x. Ja kõrgus on umbes funktsiooni väärtus vaadeldavas punktis, ütleme f(x_i). Diagrammilt on näha, et mida väiksemad on ribad, seda paremini sobivad ribad ümbritsetud ala sisse, seega on väärtuse parem lähendamine.

Niisiis, üldiselt kindel integraal Mina, punktide a ja b vahel (st vahemikus [a, b] kus aMina ≅ f(x₁) ∆x + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, kus n on ribade arv (n = (b-a) / ∆x). Seda pindala summeerimist saab hõlpsalt kirjeldada, kasutades summeerimismärget kui Mina ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x. Kuna lähend on parem, kui ∆x on väiksem, saame väärtuse arvutada siis, kui ∆x → 0. Seetõttu on mõistlik öelda Mina = lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x.

Ülaltoodud kontseptsiooni põhjal võime valida ∆x vaadeldava intervalli põhjal, mida indekseeritakse i-ga (valides piirkonna laiuse asukoha põhjal). Siis saame

Mina= lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x_i = _a∫^b f(x) dx

Seda nimetatakse funktsiooni Reimanni integraaliks f(x) vahemikus [a, b]. Sel juhul nimetatakse a ja b integraali ülemiseks ja alumiseks piiriks. Reimanni integraal on kõigi integratsioonimeetodite põhivorm.

Sisuliselt on integratsioon pindala summeerimine, kui ristküliku laius on lõpmatu.

Mis vahe on integratsioonil ja summeerimisel??

• Summeerimine on numbrijada liitmine. Tavaliselt antakse summeerimine sellisel kujul ∑ⁿ_{i = 1} a_i kui jada terminitel on muster ja neid saab väljendada, kasutades üldterminit.

• Integratsioon on põhimõtteliselt ala, mis on piiratud funktsiooni kõvera, telje ning ülemise ja alumise piiriga. Selle pindala võib anda piiritletud ala hulka kuuluvate palju väiksemate pindalade summana.

• Summeerimine hõlmab diskreetseid väärtusi ülemise ja alumise piiriga, integreerimisel aga pidevaid väärtusi.

• Integratsiooni võib tõlgendada summeerimise erivormina.

• Numbriliste arvutusmeetodite korral viiakse integratsioon alati kokku.