Erinevus Laplasi ja Fourier 'teisenduste vahel

Laplace vs Fourier'i teisendused
 

Nii Laplasi kui ka Fourieri teisend on lahutamatu teisendus, mida kasutatakse matemaatiliselt modelleeritud füüsikaliste süsteemide lahendamisel kõige sagedamini matemaatiliste meetoditena. Protsess on lihtne. Kompleksne matemaatiline mudel teisendatakse integraalse teisenduse abil lihtsamaks, lahendatavaks mudeliks. Kui lihtsam mudel on lahendatud, rakendatakse pöördintegraali teisendust, mis pakuks lahenduse algsele mudelile.

Näiteks kuna enamiku füüsiliste süsteemide tulemuseks on diferentsiaalvõrrandid, saab neid integreeritud teisenduse abil teisendada algebralisteks võrranditeks või madalama astme kergesti lahendatavateks diferentsiaalvõrranditeks. Siis muutub probleemi lahendamine lihtsamaks.

Mis on Laplace'i teisend?

Antud funktsioon f (t) reaalse muutujaga t, selle Laplasi teisendus on määratletud integraaliga (kui see on olemas), mis on keeruka muutuja funktsioon s. Tavaliselt tähistatakse seda tähega L f (t). Funktsiooni pöördvõrdeline Laplasi teisendus F(s) võetakse funktsiooniks f (t) sellisel viisil, et L f (t) = F(s) ja tavalises matemaatilises märkuses kirjutame L ^-1F(s) = f (t).Pöördtransformatsiooni saab muuta unikaalseks, kui nullfunktsioonid pole lubatud. Neid kahte saab tuvastada funktsiooniruumis määratletud lineaarsete operaatoritena ja on ka lihtne näha, et L ^-1L f (t) = f (t), kui nullfunktsioonid pole lubatud.

Järgmises tabelis on loetletud mõne tavalisema funktsiooni Laplasi teisendused.

Mis on Fourier 'teisend?

Antud funktsioon f (t) reaalse muutujaga t, selle Laplasi teisendus on määratletud integraaliga (kui see on olemas) ja seda tähistatakse tavaliselt tähega F f (t). Pöördtransformatsioon F ^-1F(α) annab integraal . Fourier-teisendus on samuti lineaarne ja seda võib pidada funktsiooniruumis määratletud operaatoriks.

Fourier-teisendust kasutades saab algse funktsiooni kirjutada järgmiselt, tingimusel et funktsioonil on ainult piiratud arv katkendusi ja see on absoluutselt integreeritav.

Mis vahe on Laplatil ja Fourier-teisendusel??

• Funktsiooni Fourier-teisendus f (t) on määratletud kui , arvestades, et selle definitsiooniks on laplasi teisend .
• Fourier-teisendus on määratletud ainult funktsioonide jaoks, mis on määratletud kõigi reaalarvude jaoks, samas kui Laplasi teisendus ei nõua funktsiooni määratlemist negatiivsete reaalarvude seadmisel.
• Fourieri teisend on Laplace'i teisenduse erijuhtum. On näha, et mõlemad ja mitte-negatiivsed reaalarvud langevad kokku. (st võtta s Laplapis olema iα + β kus α ja β on tõelised sellised, et e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Igal funktsioonil, millel on Fourieri teisendus, on Laplasi teisendus, kuid mitte vastupidi.