Erinevus logaritmilise ja eksponentsiaalse vahel

Logaritmiline vs eksponentsiaalne | Eksponentsiaalne funktsioon vs logaritmiline funktsioon
 

Funktsioonid on üks olulisemaid matemaatiliste objektide klasse, mida kasutatakse laialdaselt peaaegu kõigis matemaatika alamvaldkondades. Kuna nende nimed viitavad nii eksponentsiaalsele funktsioonile kui ka logaritmilisele funktsioonile, on need kaks erifunktsiooni.

Funktsioon on suhe kahe komplekti vahel, mis on määratletud nii, et esimese komplekti iga elemendi jaoks on teises komplektis sellele vastav väärtus kordumatu. Olgu ƒ komplektist määratletud funktsioon A sisse seatud B. Siis iga x kohta ϵ A, sümbol ƒ (x) tähistab komplekti unikaalset väärtust B mis vastab x-le. Under all nimetatakse seda x-kujutiseks. Seetõttu seos. Alates A sisse B on funktsioon, siis ja ainult siis, iga x jaoksϵ A ja y ϵ A, kui x = y, siis ƒ (x) = ƒ (y). Komplekt A nimetatakse funktsiooni domeeniks ƒ ja see on komplekt, milles funktsioon on määratletud.

Mis on eksponentsiaalne funktsioon?

Eksponentsiaalne funktsioon on funktsioon, mille annab ƒ (x) = e^x, kus e = lim (1 + 1 / n) ⁿ (≈ 2 718…) ja on transtsendentaalne irratsionaalne number. Funktsiooni üks eripära on see, et funktsiooni tuletis on võrdne iseendaga; st kui y = e^x, dy / dx = e^x. Samuti on funktsioon kõikjal pidevalt kasvav funktsioon, millel on asümptotina x-telg. Seetõttu on funktsioon ka üks-ühele. Iga x kohta ϵ R, meil on see e^x> 0 ja saab näidata, et see on peal R⁺. Samuti järgib see põhiidentiteeti e^{x + y} = e^x.e^y ja e⁰ = 1. Funktsiooni saab esitada ka seerialaiendusena, kasutades 1 + x / 1! + x²/ 2! + x³/ 3! +… + Xⁿ/ n! +…

Mis on logaritmiline funktsioon?

Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalse funktsiooni pöördväärtus. Kuna eksponentsiaalfunktsioon on üks-ühele ja peale R⁺, funktsiooni g saab määratleda positiivsete reaalarvude hulgast reaalarvude kogumiks, mis on antud g (y) = x abil ja ainult siis, kui y = e^x. Seda funktsiooni g nimetatakse logaritmiliseks funktsiooniks või kõige sagedamini naturaalseks logaritmiks. Seda tähistatakse g (x) = log e^x = ln x. Kuna see on eksponentsiaalse funktsiooni pöördväärtus, kui võtta eksponentsiaalse funktsiooni graafiku peegeldus sirgel y = x, siis on meil logaritmilise funktsiooni graafik. Seega on funktsioon y-telje suhtes asümptootiline.

Logaritmiline funktsioon järgib mõnda põhireeglit, millest ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y ja ln xy = y ln x on kõige olulisemad. See on ka kasvav funktsioon ja see on igal pool pidev. Seetõttu on see ka üks-ühele. Võib näidata, et see on peal R.