Erinevus vastastikku välistavate ja sõltumatute sündmuste vahel

Vastastikku välistavad vs sõltumatud sündmused

Inimesed ajavad segi üksteist välistavate sündmuste kontseptsiooni sõltumatute sündmustega. Tegelikult on need kaks erinevat asja.

Olgu A ja B suvalise eksperimendiga E seotud kaks sündmust. P (A) nimetatakse A tõenäosuseks. Sarnaselt võime määratleda B tõenäosuse P (B), A või B tõenäosuse P (A PB) ning A ja B tõenäosuse P (A∩B). Seejärel P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Kaks sündmust, mis väidetavalt on üksteist välistavad, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teist. Teisisõnu, need ei saa esineda üheaegselt. Seega, kui kaks sündmust A ja B on teineteist välistavad, siis tähendab A∩B = ∅ ja see tähendab, et P (A∪B) = P (A) + P (B).

Olgu A ja B kaks sündmust prooviruumis S. A tingimuslikku tõenäosust A tähistatakse tähega P (A | B) ja seda määratletakse kui B, kuna B on toimunud. P (A | B) = P (A∩B) / P (B), tingimusel et P (B)> 0. (vastasel juhul pole see määratletud.)

Öeldakse, et sündmus A on sündmusest B sõltumatu, kui A toimumise tõenäosust ei mõjuta see, kas B on toimunud või mitte. Teisisõnu, sündmuse B tulemus ei mõjuta sündmuse A tulemust. Seetõttu on P (A | B) = P (A). Samamoodi on B sõltumatu A-st, kui P (B) = P (B | A). Seega võime järeldada, et kui A ja B on sõltumatud sündmused, siis P (A∩B) = P (A) .P (B)

Oletame, et nummerdatud kuup on rullitud ja õiglane münt ümber pööratud. Olgu A sündmus, mis saadakse pea, ja B on sündmus, mis veedab paarisarvu. Siis võime järeldada, et sündmused A ja B on sõltumatud, kuna ühe tulemus ei mõjuta teise tulemust. Seetõttu on P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Kuna P (A∩B) ≠ 0, ei saa A ja B üksteist välistada.

Oletame, et urn sisaldab 7 valget ja 8 musta marmorit. Määrake sündmus A valge marmori joonistamiseks ja sündmus B musta marmori joonistamiseks. Kui eeldatakse, et iga marmor asendatakse pärast värvi märkimist, siis P (A) ja P (B) on alati samad, sõltumata sellest, mitu korda urnist joonistame. Marmorite asendamine tähendab, et tõenäosused ei muutu joonistamisest joonistamiseni, sõltumata sellest, mis värvi me viimasele joonistamisele valisime. Seetõttu on sündmus A ja B sõltumatud.

Kui aga marmorid joonistati ilma vahetamata, siis kõik muutub. Selle eelduse kohaselt ei ole sündmused A ja B sõltumatud. Valge marmori esmakordne joonistamine muudab tõenäosust, et teisele joonistatakse must marmor ja nii edasi. Teisisõnu, igal loosimisel on mõju järgmisele loosimisele ja seega ei ole üksikud viigid iseseisvad.