Parallelogrammi ja ristküliku erinevus

Parallelogramm vs ristkülik
 

Parallelogramm ja ristkülik on nelinurgad. Nende kujude geomeetria oli inimesele teada tuhandeid aastaid. Seda teemat käsitletakse selgesõnaliselt Kreeka matemaatiku Euclidi kirjutatud raamatus “Elemendid”.

Parallelogramm

Parallelogrammi võib määratleda kui geomeetrilist kujundit, millel on neli külge ja vastasküljed üksteisega paralleelsed. Täpsemalt on see nelinurk, millel on kaks paari paralleelseid külgi. See paralleelne olemus annab parallelogrammidele palju geomeetrilisi omadusi.

          

Nelinurk on rööpkülik, kui leitakse järgmised geomeetrilised omadused.

• Kaks paari vastaskülgi on võrdse pikkusega. (AB = DC, AD = BC)

• Kaks paari vastassuunalisi nurki on võrdse suurusega. ()

• Kui külgnevad nurgad on täiendavad 

• Paar külge, mis on üksteisega vastandlikud, on paralleelsed ja võrdse pikkusega. (AB = DC ja AB∥DC)

• Diagonaalid poolitavad teineteist (AO = OC, BO = OD)

• Iga diagonaal jagab nelinurga kaheks kokkusobivaks kolmnurgaks. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)

Lisaks võrdub külgede ruutude summa diagonaalide ruutude summaga. Seda nimetatakse mõnikord rööpküliku seadus ning sellel on laialdased rakendused füüsikas ja tehnika alal. (AB² + EKr² + CD² + DA² = Vahelduvvool² + BD²)

Kõiki ülaltoodud omadusi saab kasutada omadustena, kui on kindlaks tehtud, et nelinurk on rööpkülik.

Rööpküliku pindala saab arvutada ühe külje pikkuse ja vastaskülje kõrguse korrutisega. Seetõttu võib rööpküliku pindala öelda järgmiselt:

Rööpküliku pindala = alus × kõrgus = AB×h

Rööpküliku pindala ei sõltu üksiku rööpküliku kujundist. See sõltub ainult aluse pikkusest ja risti kõrgusest.

Kui rööpküliku külgi saab tähistada kahe vektoriga, saab pindala saada kahe külgneva vektori vektorprodukti (ristkorrutise) suuruse järgi.

Kui külgi AB ja AD tähistavad vektorid () ja (), Vastavalt, parallelogrammi pindala on antud , kus α on nurk ja . 

Järgnevalt on toodud mõned parallelogrammi täpsemad omadused;

• Rööpküliku pindala on kaks korda suurem kui selle kolmnurga moodustatud kolmnurk.

• Rööpküliku pindala jagatakse pooleks iga keskpunkti läbiva joonega.

• Igasugune degenereerumata afiinsusmuundumine võtab parallelogrammi teisele parallelogrammile

• Rööpkülikul on pöördesümmeetria suurusjärk 2

• Rööpküliku mis tahes sisemisest punktist külgedeni ulatuvate kauguste summa ei sõltu punkti asukohast

Ristkülik

Nelja täisnurga nelinurka tuntakse ristkülikuna. See on rööpküliku erijuhtum, kus kahe külgneva külje vahelised nurgad on täisnurgad.

 

Lisaks kõigile rööpküliku omadustele saab ristküliku geomeetria arvestamisel tuvastada ka lisaomadusi.

• Iga nurk tippudes on täisnurk.

• Diagonaalid on võrdse pikkusega ja poolitavad teineteist. Seetõttu on poolitatud lõigud ka võrdse pikkusega.

Diagonaalide pikkust saab arvutada Pythagorase teoreemi abil:

PQ² + PS² = SQ²

• Pindalavalem vähendatakse pikkuse ja laiuse korrutiseks.

Ristküliku pindala = pikkus × laius

• ristkülikul on palju sümmeetrilisi omadusi, näiteks;

- Ristkülik on tsükliline, kus kõik tipud saab paigutada ringi perimeetrile.

- See on ristkülikukujuline, kus kõik nurgad on võrdsed.

- See on isogonaalne, kus kõik nurgad asuvad sama sümmeetria orbiidil.

- Sellel on nii peegeldav kui ka pöördesümmeetria.

Mis vahe on parallelogrammil ja ristkülikul??

• Parallelogramm ja ristkülik on nelinurgad. Ristkülik on parallelogrammide erijuhtum.

• Mis tahes pindala saab arvutada valemi baas × kõrgus abil.

• diagonaalide arvestamine;

- Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist ja poolitavad rööpküliku, moodustades kaks ühtlast kolmnurka.

- Ristküliku diagonaalid on võrdse pikkusega ja poolitavad teineteist; poolitatud lõigud on võrdse pikkusega. Diagonaalid lõikavad ristküliku poolitatavaks parempoolseks kolmnurgaks.

• sisenurkade arvestamine;

- Rööpküliku vastandlikud sisenurgad on võrdse suurusega. Kaks külgnevat sisenurka on täiendavad

- Ristküliku kõik neli sisenurka on täisnurgad.

• külgede arvestamine;

- Parallelogrammis võrdub külgede ruutude summa diagonaali ruutude summaga (Parallelogrami seadus)

- Ristkülikutes on kahe külgneva külje ruutude summa võrdne diagonaali ruuduga otstes. (Pythagorase reegel)