Erinevus juhuslike muutujate ja tõenäosusjaotuse vahel

Juhuslikud muutujad vs tõenäosusjaotus

Statistilised katsed on juhuslikud katsed, mida saab teadaolevate tulemuste komplektiga tähtajatult korrata. Selliste katsetega on seotud nii juhuslikud muutujad kui ka tõenäosusjaotus. Iga juhusliku muutuja jaoks on seotud tõenäosusjaotus, mida määratleb funktsioon, mida nimetatakse kumulatiivseks jaotusfunktsiooniks.

Mis on juhuslik muutuja?

Juhuslik muutuja on funktsioon, mis omistab statistilise katse tulemustele arvulised väärtused. Teisisõnu, see on funktsioon, mis on määratletud statistilise eksperimendi valimi ruumist reaalarvude komplektina.

Näiteks kaaluge juhuslikku katset mündi kaks korda libistamiseks. Võimalikud tulemused on HH, HT, TH ja TT (H - pead, T - jutud). Las muutuja X on katses täheldatud peade arv. Siis võib X võtta väärtused 0, 1 või 2 ja see on juhuslik muutuja. Siin kaardistab juhuslik muutuja X komplekti S = HH, HT, TH, TT (valimiruumi) komplektiga 0, 1, 2 nii, et HH kaardistatakse 2, HT ja TH tähistatakse 1-ga ja TT-ga 0. Funktsiooni märkimisel võib seda kirjutada järgmiselt: X: S → R, kus X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 ja X ( TT) = 0.

Juhuslikke muutujaid on kahte tüüpi: diskreetsed ja pidevad, seega on juhusliku muutuja eeldatavate võimalike väärtuste arv kõige rohkem loendatud või mitte. Eelmises näites on juhuslik muutuja X diskreetne juhuslik muutuja, kuna 0, 1, 2 on piiratud hulk. Nüüd kaaluge statistilist katset klassi õpilaste kaalu leidmiseks. Olgu Y juhuslik muutuja, mis on määratletud õpilase kaaluna. Y võib kindla intervalli jooksul võtta mis tahes tegeliku väärtuse. Seega Y on pidev juhuslik muutuja.

Mis on tõenäosusjaotus?

Tõenäosusjaotus on funktsioon, mis kirjeldab juhusliku muutuja tõenäosust võtta teatud väärtused.

Kumulatiivse jaotusfunktsioonina (F) nimetatavat funktsiooni saab määratleda reaalarvude komplektist reaalarvude komplektini järgmiselt: F (x) = P (X ≤ x) (X tõenäosus on väiksem kui x või sellega võrdne) iga võimalik tulemus x. Nüüd saab esimese näite X kumulatiivse jaotusfunktsiooni kirjutada kui F (a) = 0, kui a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Diskreetsete juhuslike muutujate korral saab funktsiooni määratleda võimalike tulemuste hulgast reaalarvude komplektini viisil, et ƒ (x) = P (X = x) (tõenäosus, et X on võrdne x-ga) iga võimaliku tulemuse jaoks x. Seda konkreetset funktsiooni ƒ nimetatakse juhusliku muutuja X tõenäosusmassifunktsiooniks. Nüüd saab X-i tõenäolise massifunktsiooni esimeses näites kirjutada järgmiselt: ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 ja otherwise (x) = 0 vastasel juhul. Seega kirjeldab tõenäosusmassi funktsioon koos kumulatiivse jaotusfunktsiooniga esimeses näites X tõenäosusjaotust.

Pidevate juhuslike muutujate korral saab funktsiooni, mida nimetatakse tõenäosustiheduse funktsiooniks (ƒ), defineerida kui x (x) = dF (x) / dx iga x kohta, kus F on pideva juhusliku muutuja kumulatiivne jaotusfunktsioon. On lihtne näha, et see funktsioon vastab ∫ƒ (x) dx = 1. Tõenäosustiheduse funktsioon koos kumulatiivse jaotusfunktsiooniga kirjeldab pideva juhusliku muutuja tõenäosusjaotust. Näiteks kirjeldatakse normaaljaotust (mis on pidev tõenäosusjaotus), kasutades tõenäosustiheduse funktsiooni ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).