Erinevus assotsiatiivse ja kommutatiivse vahel

Assotsiatiivne vs kommutatiivne
 

Igapäevases elus peame numbreid kasutama alati, kui on vaja midagi mõõta. Toidupoes, bensiinijaamas ja isegi köögis peame kahe või enama koguse liitma, lahutama ja korrutama. Oma praktika kohaselt viime need arvutused läbi üsna vaevata. Me ei pane kunagi tähele ega kahtle, miks me neid operatsioone just sel viisil teeme. Või miks ei saa neid arvutusi teha teisiti. Vastus on peidetud nende toimingute määratlemisse algebra matemaatilises väljal.

Algebras määratletakse kahe suurusega operatsioon (näiteks liitmine) kahendtoiminguna. Täpsemalt on see operatsioon kahe elemendi vahel komplektist ja neid elemente nimetatakse operandiks. Binaarseteks toiminguteks saab määratleda paljusid matemaatikaoperatsioone, sealhulgas varem mainitud aritmeetilisi operatsioone ning komplekti teooria, lineaarse algebrani ja matemaatilise loogikaga seotud toiminguid..

Konkreetse binaarse operatsiooni kohta on olemas rida reegleid. Binaarsete toimingute kaks põhiomadust on assotsiatiivsed ja kommutatiivsed omadused.

Lisateave kommutatiivse vara kohta

Oletame, et elementidel teostatakse mõni binaarne toiming, mida tähistatakse sümboliga ⊗ A ja B. Kui operandide järjekord ei mõjuta operatsiooni tulemust, siis öeldakse, et toiming on kommutatiivne. s.t kui A ⊗ B = B ⊗ A siis on operatsioon kommutatiivne.

Aritmeetiliste operatsioonide liitmine ja korrutamine on kommutatiivsed. Liidetud või korrutatud numbrite järjestus ei mõjuta lõplikku vastust:

A + B = B + A     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

A × B = B × A     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Jagunemise korral annab järjekord aga muutuse vastastikuse ja lahutamisel annab muudatus teise negatiivse. Seetõttu,

A - B ≠ B - A     ⇒ 4 - 5 = -1 ja 5 - 4 = 1

A ÷ B ≠ B ÷ A     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 ja 5 ÷ 4 = 1,25 [sel juhul A,B ≠ 1 ja 0]

Tegelikult öeldakse, et lahutamine on kommutatiivne; kus A - B = - (B - A).

Loogilised ühendused, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon ja ekvivalentsus on samuti kommutatiivsed. Tõefunktsioonid on samuti kommutatiivsed. Määratud operatsioonide liit ja ristmik on kommutatiivsed. Lisamine ja vektorite skalaarkorrutis on samuti kommutatiivsed.

Kuid vektori lahutamine ja vektorprodukt ei ole kommutatiivsed (kahe vektori vektorprodukt on kommutatiivne). Maatriksi liitmine on kommutatiivne, kuid korrutamine ja lahutamine pole kommutatiivsed. (Kahe maatriksi korrutamine võib erijuhtudel olla kommutatiivne, näiteks maatriksi korrutamine selle pöörd- või identsusmaatriksiga; aga maatriksid ei ole kindlasti kommutatiivsed, kui maatriksid pole sama suurusega)

Lisateave ühistuvara kohta

Binaarset toimingut peetakse seostatavaks, kui täitmise järjekord ei mõjuta tulemust, kui operaatoril on kaks või enam juhtumit. Mõelge elementidele A, B ja C ja kahendtoiming ⊗. Operatsiooni ⊗ öeldakse olevat assotsiatiivne, kui

A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C

Aritmeetilistest põhifunktsioonidest on assotsieeruvad ainult liitmine ja korrutamine.

A + (B + C) = (A + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

A × (B × C) = (A × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Lahutamine ja jagamine ei ole assotsiatiivsed;

A - (B - C) ≠ (A - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 ja (5 - 4) - 3 = -2

A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 ja (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Loogiliste ühenduste disjunktsioon, konjunktsioon ja ekvivalents on assotsiatiivsed, nagu ka määratud operatsioonide liit ja ristmik. Maatriks ja vektori liitmine on assotsiatiivsed. Vektorite skalaarkorrutis on assotsiatiivne, kuid vektorprodukt mitte. Maatriksi korrutamine on assotsiatiivne ainult erilistel asjaoludel.

Mis vahe on kommutatiivsel ja assotsiatiivsel omandil??

• Nii assotsiatiivne kui ka kommutatiivne omadus on binaarsete toimingute eriomadused ja mõned vastavad neile ning mõned mitte.

• Neid omadusi võib näha mitmete algebraliste ja muude binaarsete operatsioonide vormidena matemaatikas, näiteks ristumine ja liit komplekti teoorias või loogilised ühendused.

• Kommutatiivse ja assotsiatiivse erinevus seisneb selles, et kommutatiivne omadus väidab, et elementide järjekord ei muuda lõpptulemust, samas kui assotsiatiivne omadus väidab, et toimingu sooritamise järjekord ei mõjuta lõplikku vastust.