Erinevus aksioomi ja teoreemi vahel

Aksioom vs teoreem

Aksioom on loogikal põhinev väide, mida peetakse tõeseks; seda ei saa siiski tõestada ega näidata, kuna seda peetakse lihtsalt enesestmõistetavaks. Põhimõtteliselt on aksioomiks kõik, mis on tunnistatud tõeseks ja aktsepteeritud, kuid millel pole mingeid tõendeid või millel on mõni praktiline viis seda tõestada. Seda nimetatakse mõnikord ka postulaadiks või oletuseks.

Sageli eiratakse aksioomi alust selle tõele. See lihtsalt on ja pole vaja enam läbi mõelda. Paljud aksioomid seisavad aga endiselt silmitsi erinevate mõtetega ja alles aeg näitab, kas need on crackpotid või geeniused.

Aksioome võib liigitada loogilisteks või mitteloogilisteks. Loogilised aksioomid on üldiselt aktsepteeritud ja kehtivad avaldused, mitteloogilised aksioomid on aga tavaliselt matemaatiliste teooriate ehitamisel kasutatavad loogilised avaldised.

Matemaatikas on aksioomi palju lihtsam eristada. Aksioom on sageli väide, mis loogilise jada väljendamise huvides vastab tõele. Need on avalduste tõestamise peamised alustalad. Aksioomid on lähtepunktiks teistele matemaatilistele lausetele. Neid aksioomidest tuletatud väiteid nimetatakse teoreemideks.

Teoreem on definitsiooni järgi tõestatud väide, mis põhineb aksioomidel, muudel teoreemidel ja mõnel loogiliste ühenduste komplektil. Teoreeme tõestatakse sageli rangete matemaatiliste ja loogiliste põhjenduste abil ning tõendusprotsess hõlmab muidugi ühte või mitut aksioomi ja muid väiteid, mis on juba tõeseks tunnistatud..

Teoreeme väljendatakse sageli tuletatavatena ja neid tuletusi peetakse avalduse tõestuseks. Teoreemi tõestuse kahte komponenti nimetatakse hüpoteesiks ja järelduseks. Tuleb märkida, et teoreeme vaidlustatakse sagedamini kui aksioome, kuna neid tõlgendatakse rohkem ja erinevaid tuletusmeetodeid.

Mõningaid teoreeme pole aksioomideks keeruline pidada, kuna on ka teisi väiteid, mille intuitiivne oletus vastab tõele. Neid peetakse siiski teoreemideks, kuna neid saab tuletada deduktsiooni põhimõtete kaudu.

Kokkuvõte:

1. Aksioom on väide, mille puhul eeldatakse, et see on tõene ilma tõenditeta, samal ajal kui teooriat tuleb tõestada enne, kui seda peetakse tõeseks või valeks.

2. Aksioom on sageli iseenesestmõistetav, samal ajal kui teooria vajab sageli kehtivuseks teisi väiteid, näiteks muid teooriaid ja aksioome..

3. Teoreemid vaidlustatakse loomulikult rohkem kui aksioomid.

4. Põhimõtteliselt tuletatakse teoreemid aksioomidest ja loogiliste ühenduste komplektist.

5. Aksioomid on loogiliste või matemaatiliste avalduste põhielemendid, kuna need on teoreemide lähtepunktid.

6. Aksioome saab liigitada loogilisteks või mitteloogilisteks.

7. Teoreemi tõestuse kahte komponenti nimetatakse hüpoteesiks ja järelduseks.